ב־1920 עברה משפחתו למישקולץ. הצטרף לתנועת ׳קדימה׳ וב־1925 הקים יחד עם חבריו את תנועת ׳תכלת־לבן', שהתמזגה בשנת 1927 עם ׳השומר הצעיר׳. היה בין ראשוני תנועתו בהונגריה.
הקים משפחה ונולדו לו ילדים. ב־1944, עם הקמת הגטו במישקולץ, עבר בעזרת ידיד, מפקד המשטרה, לבודפשט. נשלח ל׳טיול', נתפס ונכלא בבתי סוהר שונים. בסוף ספטמבר אותה שנה השתחרר והגיע ל׳בית הזכוכית׳ ברחוב ואדאס ואחר כך ל׳סניף׳ של הצירות השווייצרית ברחוב וקרלה שנדור.
היה מן הפעילים המרכזיים של המחתרת, בעל יכולת ארגון וכושר עבודה בלתי רגילים. בפועל, היה מנהל 'בית הזכוכית׳ ונציג תנועות הנוער בהנהלת הבית. המבנה של בית הזכוכית לא הוכן לקליטת אלפי אנשים. במציאות החדשה היו צריכים לדאוג לסדר ומשמעת, למקומות לינה (במשמרות), למים, לאוכל, לשירותים, וגם לשמירה על שער הכניסה. לכסנדר גרוסמן לקח את המושכות ובכושר ארגון יוצאי דופן, ובמסירות ללא מנוחה (ישן 2-3 שעות ביום) ניצח על מהלך החיים ועל כל הפעילות של ההמון הרבגוני שהצטופף בבית מסחר, שהפך ל-"קונסוליה" ולבסוף למקלט הגדול והבטוח בבודפשט עבור היהודים הנרדפים. כאשר פרץ הוויכוח, האם לקלוט יהודים נוספים ב׳בית הזכוכית', משום שהם עלולים לסכן את אלה שכבר היו שם, אמר: ״למען מאה אלף יהודים כדאי לסכן את עצמנו."
בעת התרחבות השליטה על מבנים נוספים, א. גרוסמן עבר ל-'סניף' ברחוב ווקרלה 17 (Wekerle).
אשתו וילדיו ויתר בני משפחתו גורשו לאושוויץ ונספו שם.
אחרי השחרור, בינואר 1945, היה מזכיר הג׳וינט בבודפשט, חבר ההנהלה של ההסתדרות הציונית וחבר ההנהלה של המשרד הארצישראלי. ב־1949 עלה לארץ והיה חבר קיבוץ מעברות עד 1951. נפטר בג׳נבה, שווייץ. עסק בעיתונאות ובהוצאת ספרים.
